تحقیق آشنایی با اعداد انگاری
دسته بندي :
دانش آموزی و دانشجویی »
دانلود تحقیق
لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
دسته بندی : وورد
نوع فایل : word (..doc) ( قابل ويرايش و آماده پرينت )
تعداد صفحه : 14 صفحه
قسمتی از متن word (..doc) :
2
اعداد مختلط
آشنایی با اعداد انگاری
یکی از مهمترین ویژگیهای اعداد حقیقی این است که در آنها اعمال: جمع، تفریق، ضرب و تقسیم (به استثنای تقسیم برصفر) را می توان انجام داد. بدین سبب است که معادله خطی کلیرا می‌توان در حوزه اعداد حقیقی حل کرد و چنین نوشت: . ولی وضعیت در مورد معادله درجه دوم کاملاً متفاوت است. به عنوان مثال معادله درجه دومرا در حوزه اعداد حقیقی نمی‌توان حل کرد ورا به دست آورد. مربع یک عدد حقیقی نمی‌تواند عددی منفی باشد. بنابراین به ازای هر عدد حقیقی ،
از این رو به ازای هر عدد حقیقی، معادله ممتنع است. در چنین وضعیتی حوزه دستگاه اعداد حقیقی را طور توسعه می‌دهیم که چنین معادله‌ای حل شدنی باشد. مثلاً برای یک طفل دبستانی که فقط اعدادی درست مثبت را می‌شناسد. و برای کسانی که فقط اعداد صحیح را می‌شناسد معادله‌های و جواب ندارند. اما با توسیع دستگاه اعداد به صورتی که اعدادی منفی، کسری و اصم را نیز در برگیرد، این معادلات به ترتیب جوابهای را خواهند داشت.
وضعیت برای معادلهتقریباً همین طور است. دستگاه اعداد را چنان توسعه می‌دهیم تا اعدادی مثل ، یعنی عددی را که مربعش 1- است، نیز در بر گیرد. این گونه اعداد با احساس شهودی ما اصلاً جور در نمی‌آیند و در گذشته بسیاری از ریاضیدانان با معرفی این گونه هیولاها مخالفت داشتند و از این رو آنها را اعداد انگاری نامیده اند. وضعیت تا سده هیجدهم به همین منوال بود تا اینکه لئونهارت اویلر (1707-1783) با کارهای استادانه روی اعداد انگاری نتایج متعدد جالبی بدست آورد. ک.ف گاوس(1777- 1855 ) با معرفی اعداد انگاری به صورت نقاط یک صفحه نام تازه اعداد مختلط را بر آنها نهاد و از آنها برای یافتن نتایجی چشمگیر از نظریه اعداد استفاده نمود. از این طریق عضویت اعداد مختلط را در سلسه اعداد مسجل ساخت. تقریباً در همان زمان اُ.ل. کوشی ( 1789 – 1857 )، هنگام تلاش در پیدا کردن روشی یکنواخت برای محاسبه انتگرال های معین،حساب دیفرانسیل و انتگرال
2
توابع با متغیرهای مختلط را بررسی کرد. این امر سرآغاز نظریه توابعی بود که زمینه مساعدی برای کشف توابع بیضوی از سوی ن.ه. آبل (1802 – 1829 ) و کارل گوستاو یاکوبی (1804 – 1851) را فراهم ساخت. علاوه بر این، بسط هندسه تصویری نشان داد که استفاده از اعداد مختلط در هندسه نیز امری اجتناب ناپذیر است. پیشرفت تحقیقات روشن کرده است که برای اینکه ریاضیات، حتی فقط حساب دیفرانسیل و انتگرال را به خوبی بفهمیم، محدودیت غیر طبیعی حوزه اعداد حقیقی به ما حکم می‌کند که برای دستیابی به مفاهیم یکنواختی و همسازی، اعداد مختلط را نیز دخالت دهیم.
رسم بر این است که ، حرف اول واژه (انگاری) را برای به کار می‌بریم. بدین ترتیب اعداد مختلط اعدادی هستند به شکل که اعدادی هستند حقیقی و محاسبه با آنها همانند محاسبه با اعداد حقیقی است، با در نظر گرفتن اینکه به جای باید،1- قرار داد. مثلاً
منظوراز تقسیم دو عدد مختلط یعنی یافتن عددی است مثل که در تساوی
صدق نماید، پس از محاسبه رابطه بالا داریم
پس کافی است اعداد را چنان پیدا کنیم که در روابط صدق کنند. این دستگاه معادلات یک جواب یکتای زیر را دارد.
مگر آنکه . بنابراین
4
البته همین نتیجه را می‌توانستیم از ضرب صورت و مخرج کسر در نیز به دست آوریم.
اما چرا چنین اعمالی موجه‌اند؟ آیا جمع یک عدد حقیقی با یک عدد انگاری ویافتن همانند حاصل جمع با 4 کیلوگرم و یافتن نیست؟ همین طور، ، دو جواب دارد ولی کدامیک از آنها است؟ توجه کنید که نیز دو جواب دارد که جواب دارد که جواب مثبت آن 1 است و جواب دیگر آن 1- . اما آیا گفتن نامثبت است معنی دارد؟
تعریف اعداد مختلط
برای پاسخگویی به ایراد اخیر، اکنون تعریفی صوری از اعداد مختلط ارائه می‌دهیم. ولی ابتدا ویژگیهای دستگاه حقیقیرا یاد آور می‌شویم.
I ویژگیهای مربوط به عمل جمع
دو عدد حقیقی دلخواه و عدد سوم یکتایی را عین می کنند به نام مجموع آنها که با نمایانده می‌شود، با ویژگیهای زیرین:
: قانون جابجایی : به ازای هر دو عدد ،
: قانون شرکتپذیری: به ازای هرسه عدد،
: عنصر همانی در جمع : عدد حقیقی یکتایی که بانمایانده می‌شود وجود دارد چنان که:
به ازای یک مقدار
: عکس جمعی : به ازای هر عدد ، منحصراً یک عدد وجود دارد چنان که:
این جواب یکتا را با نمایش می‌دهند.
II .
5
ویژگیهای مربوط به عمل ضرب
دو عدد حقیقی دلخواه منحصراً یک عدد سومی به نام حاصلضرب را مشخص می‌سازند که با نمایش داده می‌شود، با ویژگیهای زیرین:
: قانون جابه جایی: به ازای همه مقادیر ،
: قانون شرکت پذیری: به ازای همه مقادیر،
: عنصر همانی در ضرب: عدد حقیقی یکتایی وجود دارد که با 1 نمایانده می‌شود، به طوری که به ازای همه مقادیر
: عکس ضربی: به ازای هر، با عدد یکتایی مانند وجود دارد چنان که:
این جواب یکتا را بایا نشان می‌دهند.
III .قانون توزیعپذیری
به ازای همه مقادیر
هر مجموعه ای که این ویژگیها را داشته باشد، هیات نامیده می‌شود. بدین ترتیب مجموعه اعداد حقیقی، یک هیات است. همین طور، مجموعه مرکب از تمام اعداد گویا یک هیات است، ولی نه مجموعه همه اعداد درست یک هیات تشکیل می‌دهند و نه مجموعه اعداد طبیعی .
در بخش قبل گفتیم اعداد مختلط به صورت هستند که اعدادی حقیقی اند. از این رو اساساًً اعداد مختلط عبارت اند از زوج اعداد حقیقی . بدین ترتیب یک تعریف رسمی به صورت زیر در می‌آوریم.
تعریف 1.
یک عدد مختلط زوج مرتباز اعداد حقیقی است با ویژگیهای زیر: دو عدد مختلط فقط و فقط وقتی برابرند که . مجموع و حاصلضرب دو عدد مختلط